EBOB EKOK Hesaplama: Asal Çarpanlar ve Öklid
Yazar: Hesaplayıcı
EBOB EKOK hesaplama aracı, 2 ile 10 arasında tam sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) bulur. Sayıları girin. Araç her sayıyı asal çarpanlarına ayırır, EBOB'u ve EKOK'u bu çarpanlardan hesaplar ve EBOB'u Öklid algoritmasıyla da bulur. Örneğin 24 ile 30'un EBOB'u 6, EKOK'u 120'dir.
Örnek hesaplama: 24 ve 30’un EBOB ve EKOK’u
EBOB (en büyük ortak bölen)
6
- EKOK (en küçük ortak kat)
- 120
- Sayı adedi
- 2
Adım adım hesaplama
n₁ = asal çarpanların çarpımı
24 = 2³ × 3 = 24
n₂ = asal çarpanların çarpımı
30 = 2 × 3 × 5 = 30
EBOB (en büyük ortak bölen)
EBOB = ortak asal çarpanların en küçük üsleriyle çarpımı
EBOB = 2 × 3 = 6
EKOK (en küçük ortak kat)
EKOK = bütün asal çarpanların en büyük üsleriyle çarpımı
EKOK = 2³ × 3 × 5 = 120
EBOB(x, y) = EBOB(y, x mod y)
EBOB(24, 30): 30 = 1 × 24 + 6; 24 = 4 × 6 + 0 = 6
Nasıl kullanılır?
- Sayılar alanına 2 ile 10 arasında tam sayı yazın. Sayıları boşlukla, noktalı virgülle ya da alt alta ayırın; virgül kullanırsanız arkasına boşluk bırakın: 24, 30.
- Bir tablodan kopyaladığınız sütunu da yapıştırabilirsiniz; her satır bir sayı olur.
- Hesapla düğmesine basın. Araç EBOB’u, EKOK’u ve adımları gösterir.
Formül
n = p₁^e₁ × p₂^e₂ × …, her sayının asal çarpanlarıEBOB = ortak asal çarpanların en küçük üsleriyle çarpımıEKOK = bütün asal çarpanların en büyük üsleriyle çarpımıEBOB(x, y) = EBOB(y, x mod y), Öklid algoritmasın₁ × n₂ = EBOB(n₁, n₂) × EKOK(n₁, n₂), iki sayı için
n₁, n₂ girilen sayılar, p₁, p₂ bir sayının asal çarpanları, e₁, e₂ bu çarpanların üsleridir. Ortak asal çarpan, sayıların hepsinde olan asal çarpandır. x mod y, x’in y’ye bölümünden kalandır. Öklid algoritmasında büyük sayı küçüğüne bölünür, sonra bölen kalana bölünür; kalan 0 olduğunda son bölen EBOB’dur. Üç veya daha çok sayıda araç, ilk iki sayının EBOB’unu bir sonraki sayıyla aynı yolla sürdürür.
Örnek hesaplama
Sayfadaki örnek, 24 ile 30’un EBOB’unu ve EKOK’unu bulur. Adımlar önce iki sayının asal çarpanlarını, sonra EBOB’u ve EKOK’u, en sonda Öklid algoritmasının bölme satırlarını verir. İki yol aynı EBOB’u bulur.
Sınırlar
Araç 1 ile 10¹² arasındaki tam sayılarla çalışır; 0, negatif sayılar, ondalıklı sayılar ve kesirler girilemez. En az 2, en fazla 10 sayı girilebilir. Sonuçlar kesindir ve yuvarlanmaz. EKOK 9.007.199.254.740.991’i (2⁵³ − 1) geçerse araç yuvarlanmış bir sayı vermez, hata gösterir: daha küçük ya da daha az sayı girin. Kesirlerde toplama veya çıkarma yapmaz.
Sık Sorulan Sorular
EBOB nasıl bulunur?
Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Hepsinde olan asal çarpanlar en küçük üsleriyle çarpılır. 24 = 2³ × 3 ve 30 = 2 × 3 × 5 olduğundan EBOB(24, 30) = 2 × 3 = 6'dır.
EKOK nasıl bulunur?
Sayılardan en az birinde olan her asal çarpan, en büyük üssüyle bir kez alınır ve bunlar çarpılır. EKOK(24, 30) = 2³ × 3 × 5 = 120'dir.
Aralarında asal sayıların EBOB ve EKOK’u nedir?
Aralarında asal iki sayının EBOB'u 1, EKOK'u ise iki sayının çarpımıdır. 25 ile 18 aralarında asaldır: EBOB 1, EKOK 450 olur.
Sayılardan biri diğerini bölüyorsa sonuç ne olur?
Birbirinin katı olan iki sayının EBOB'u küçük sayıya, EKOK'u büyük sayıya eşittir. Örneğin EBOB(4, 12) = 4 ve EKOK(4, 12) = 12'dir.
EBOB ve EKOK günlük hayatta nerede kullanılır?
EBOB, bir bütünü eşit ve en büyük parçalara ayırırken kullanılır (kumaş, çubuk, paketleme). EKOK, farklı aralıklarla tekrar eden olayların ilk ortak gününü bulurken ve kesirleri toplarken ortak paydayı bulurken kullanılır.
Hesaplama kuralları
- EBOB, sayıların hepsinde olan asal çarpanların en küçük üsleriyle çarpımıdır; EKOK, sayılardan birinde olan her asal çarpanın en büyük üssüyle çarpımıdır. Araç EBOB’u Öklid algoritmasıyla da bulur: iki yol aynı sonucu verir.
- Sayılar 1 ile 10¹² arasında tam sayı olmalıdır. Sonuçlar kesindir, yuvarlanmaz. EKOK 9.007.199.254.740.991’i (2⁵³ − 1) geçerse araç sonucu yuvarlamak yerine hata verir.
- İki sayı için EBOB × EKOK, sayıların çarpımına eşittir. EBOB 1 ise sayılar aralarında asaldır.